| 秋吉君かな、秋吉さんかな。こんにちは。
円周角の逆定理とはこういう定理ですね。「４点Ａ,Ｂ,Ｃ,Ｄで、Ｃ,Ｄが直線ＡＢについて同じ側にあって、∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢならば、この４点は１つの円周上にある｣。この定理をちゃんと理解している人はごく少数です。高校生になったらほとんどの人が忘れています。ましてや証明となるとほとんどの人ができません。おそらく学校や塾ではいちどは先生が説明してくれたのでしょうが、その時点では理解できても、ほとんどの人が忘れてしまっています。というのも、この証明法はちょっと特殊で、中学では正式に習わない間接証明法の背理法という証明の仕方をします。やってみましょう。ただ、ここでは実際に図形を使ってできませんので、今から言います事を図に描きながら、イマジネーションを豊に働かせながら、聞いてください。
【証明】
３角形は必ず外接円を持ちますね。しかし４角形は必ずしもその外接円を持つとは限りません。これは円に内接する４角形の性質で習いましたね。そこで、３点Ａ,Ｂ,Ｃを通る円は必ず１つあります。ところで第４番目の点Ｄですが、いま平面上である限り、この点Ｄは、①先ほどの円内にあるか、②円外にあるか、③円周上にあるか、のいずれかです。それ以外にどこか存在する場所がありますか。ありませんね。もし①にあるとすればどうなりますか。線分ＡＤをその向きに延長すると当然ＡＢＣを通る円と交わるはずです。その交点をＰとしましょう。さらに交点ＰとＢを結ぶと三角形ＰＤＢができて、∠Ｐは弧ＡＢの上に立つ円周角ですから、∠Ｐ＝∠ＡＣＢになりますね。ところで、三角形ＤＢＰの外角∠ＡＤＢ＝∠Ｐ＋∠ＤＢＰ…④となり、∠ＡＤＢ＝∠ＡＣＢ(＝∠Ｐ)のはずですから、④の等式は変なことになります。わかりますか。＋∠ＤＢＰが余分なんですね。ということで、点ＤがＡ，Ｂ，Ｃを通る円の内部にあるとすれば、上のような矛盾が起こることになり、結局は点Ｄは、Ａ，Ｂ，Ｃを通る円内には存在し得ないということになるわけです。点Ｄが円周外にあるときも同様に矛盾が起こり(やってみて下さい）、存在し得ないということになれば、結局点ＤはＡ，Ｂ，Ｃと同じ円周上にしか存在しえない、ということになり、上の定理が真であることを証明できるわけです。
このように、今までとはちょっと違った証明法を取りますので、わかりにくいといえばわかりにくいということになるわけですね。こんな証明法を背理法といいます。覚えておいてください。これでよろしいでしょうか。
中学で習う図形の知識は高校に入ってからとても重要になります。大学入試問題でも図形がらみの問題は必ずといっていいほど中学で習った図形の知識がベースになります。しかし、中学生のときはそれほど意識せず、かなり大雑把にしか勉強していないのが実情で、高校生を教えるときこれが大きなネックになることしばしばです。秋吉君(さん)もこの点をよく自覚して勉強してください。
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