| 応用問題という意味がちょっと不明ですが、たとえばこういうことでしょうか。
【例題】長方形の中にｎ個の点があります。ただし、長方形の4つの頂点も含めて、どの3点を取っても一直線上にはないとします。さて、このｎ個の点および頂点を含めた（ｎ＋4）個の点の中から任意の３点を選び、その3点を結んで３角形をつくるとき、この長方形の中にいくつの３角形ができるでしょう。ただし、２点を結ぶ線分がたがいに交わることはないとします。
ということで説明します。ただし表記に制約がありますので、Ａ(n)の(n)は教科書にある添え字ということでご理解ください。
いまｎ個の点から題意のとおり３角形がＡ(n)個できたとします。例えばｎ＝1ならば、この1点と長方形の4点とを結ぶわけですから、できる３角形は4個ということになりますね。つまりＡ(1)＝4というわけです。ｎ＝2ならばＡ(2)＝6ですね。さて、このｎ個の点にさらに1点を加えます。この1点は、すでにできている３角形のどれかの中にしか打てませんね。ホントですか。確かめてくださいよ。間違いありませんね。この付け加えた1点によって新しく生まれる３角形はいくつですか。そうですね、3個ですね。エッ、ホント？確かに3個生まれるといえば生まれるわけですが、いま３角形の個数を数えているわけですから、1個の３角形が3個に分けられたわけで、増えた個数は2個ではないでしょうか。
つまり、ｎ個の点で３角形がＡ(n)個、（ｎ＋１）個の点でＡ(n+1)個とすると、Ａ(n+1)＝Ａ(n)＋２という関係になっていることは理解していただけますか。このできた関係式が前科式（失礼！「ぜんかしき」がないもんで）、漸化式というわけですね。この先は漸化式を解けばいいわけで、略解しときます。
Ａ(1)＝４…①(初項ですね)、Ａ(n+1)＝Ａ(n)＋２ を変形して Ａ(n+1)－Ａ(n)＝２…②。 ①、②の式から、数列{Ａ(n)}は、公差が２で、初項が４の等差数列になっていることがわかりますね。そうすれば、Ａ(n)＝４＋２(ｎ－１)＝２ｎ＋２ （ｎ≧１）となります。
正解かどうかは、ｎ＝1を代入して、Ａ(1)＝４、ｎ＝2を代入して、Ａ(2)＝６、あっているようですね。ｎ＝3、ｎ＝4はどうでしょうか。実際に点を打ってみてあっているかどうか確かめてください。でも、ｎ＝10000であっているかどうかわかりませんよ。イジワルッ！
まじめな話、ほんとうはこれでは未解決で、数学的帰納法（ステキ、大好きー！！？？！？！？）で証明しとかなきゃいけないんです。
おわかりいただけたかな、チャコちゃん（さん）。
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